Question

如图所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1.0kg的木

如图所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1.0kg的木板与轻弹簧接触、但不拴接，弹簧与斜面平行、且为原长，在木板右上端放一质量为m=2.0kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为μ1=0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为μ2=0.25，系统处于静止状态．小金属块突然获得一个大小为v1=5.3m/s、平行斜面向下的初速度，沿木板向下运动．当弹簧被压缩x=0.5m到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动．设金属块从开始运动到与木块刚好共速所用时间t=0.75s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sin θ=0.28、cosθ=0.96，g取10m/s2，结果保留两位有效数字．求：（1）木板开始运动瞬间的加速度；（2）金属块与木板下滑过程中刚好相对静止时，弹簧的弹性势能；（3）假设木板由P点压缩弹簧到弹回P点过程中不受斜面摩擦力作用，木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离．

Answer 1

（1）对M：设m对M摩擦力为f，斜面对M摩擦力为f’，M加速度为a’
f+Mgsinθ-f’=Ma’
f’=μ₂（M+m）gcosθ      
f=μ₁mgcosθ     
a′=10 m/s²沿斜面向下 
（2）设金属块和木板达到共同速度为v₂，对金属块：
v₂=v₁-at     
μ₁mgcosθ-mgsinθ=ma       
所以：a=4.4 m/s²，沿斜面向上
v₂=2.0 m/s
在此过程中以木板为研究对象，设弹簧对木板做功为W，对木板：
[μ₁mgcosθ+Mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ]x+W=

1

2

Mv₂²
W=-3.0 J，此时弹簧的弹性势能E_p=3.0 J    
（3）金属块和木板达到共速后压缩弹簧，速度减小为0后反向弹回，设弹簧恢复原长时木板和金属块的速度为v₃，在此过程中对木板和金属块，由能量的转化和守恒得：
E_p-[μ₂（M+m）gcosθ+Mgsinθ+mgsinθ]x=

1

2

（M+m）v₃²-

1

2

（M+m）v₂²
木板离开弹簧后，设滑行距离为s，由动能定理得：
-μ₂ （M+m）gS cosθ-（M+m）gSsinθ）=0-

1

2

（M+m）v₃²
解得S=0.077 m
答：（1）木板开始运动瞬间的加速度为10m/s²方向沿斜面向下；
（2）弹簧被压缩到P点时的弹性势能是3.0J；
（3）假设木板在由P点压缩弹簧到弹回到P点过程中不受斜面摩擦力作用，木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离为0.077m．