Question

设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．（1）若

设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．

Answer 1

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2．
当n=1时，S₁=a₁．
当n≥2时，S_n=a_n+1．
∴数列{a_n}是“H”数列．
（2）S_n=na1+

n(n?1)

2

d=n+

n(n?1)

2

d，
对?n∈N^*，?m∈N^*使S_n=a_m，即n+

n(n?1)

2

d＝1+(m?1)d，
取n=2时，得1+d=（m-1）d，解得m＝2+

1

d

，
∵d＜0，∴m＜2，
又m∈N^*，∴m=1，∴d=-1．
（3）设{a_n}的公差为d，令b_n=a₁-（n-1）a₁=（2-n）a₁，
对?n∈N^*，b_n+1-b_n=-a₁，
c_n=（n-1）（a₁+d），
对?n∈N^*，c_n+1-c_n=a₁+d，
则b_n+c_n=a₁+（n-1）d=a_n，且数列{b_n}和{c_n}是等差数列．
数列{b_n}的前n项和T_n=na1+

n(n?1)

2

(?a1)，
令T_n=（2-m）a₁，则m＝

n(n?3)

2

+2．
当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．
当n≥3时，由于n与n-3的奇偶性不同，即n（n-3）为非负偶数，m∈N^*．
因此对?n∈N^*，都可找到m∈N^*，使T_n=b_m成立，即{b_n}为H数列．
数列{c_n}的前n项和R_n=

n(n?1)

2

(a1+d)，
令c_m=（m-1）（a₁+d）=R_n，则m=

n(n?1)

2

+1．
∵对?n∈N^*，n（n-3）为非负偶数，∴m∈N^*．
因此对?n∈N^*，都可找到m∈N^*，使R_n=c_m成立，即{c_n}为H数列．
因此命题得证．