Question

已知x＞1，y＞0，且2/（x-1）+1/y =2，求x+y最小值

Answer 1

解：
2/(x-1)+1/y=2
2/(x-1)=2- 1/y
x>1，x-1>0，2/(x-1)>0
2-1/y>0，1/y<2，又y>0，因此y>½ (首先判定y的取值范围)
整理，得x=(4y-1)/(2y-1) (再将x用y表示)
x+y=(4y-1)/(2y-1) +y
=(4y-2+1)/(2y-1) +y
=y+2 +1/(2y-1)
=½(2y-1) +1/(2y-1) +5/2 (将x+y用y表示)
由均值不等式得：
½(2y-1) +1/(2y-1)≥2√[½(2y-1)/(2y-1)]=√2
当且仅当½(2y-1)=1/(2y-1)时取等号，此时y=(1+√2)/2>½
x+y≥5/2 +√2
x+y的最小值为5/2 +√2

解题思路：
首先判定y的取值范围，再用y表示x，再运用均值不等式求解。
之所以要先判定y的取值范围，原因有两个：
1、要确保适用均值不等式，本题中y>½，2y-1>0，因此½(2y-1)>0，1/(2y-1)>0，适用均值不等式；
2、均值不等式取等号时的y在求得的y的取值范围内。若不在取值范围内，则需要另行讨论。

Answer 2

x>1→x-1>0，且y>0.
故依柯西不等式得
2=2/(x-1)+1/y
=(√2)²/(x-1)+1²/y
≥(√2+1)²/[(x-1)+y]
∴x+y-1≥(3+2√2)/2
即x+y≥(5+2√2)/2.
故所求最小值为: (5+2√2)/2。

也可用均值不等式，只是运算量大点:
x+y-1
=(1/2)·2·[(x-1)+y]
=(1/2)[(x-1)+y][2/(x-1)+1/y]
=(1/2)[3+(x-1)/y+2y/(x-1)]
≥(3/2)+(1/2)·2√[(x-1)/y·2y/(x-1)]
=(3+2√2)/2
∴x+y-1≥(3+2√2)/2
即x+y≥(5+2√2)/2.
∴(x-1)/y=2y/(x-1)，
且2/(x-1)+1/y=2，
即x=(4+√2)/2，y=(1+√2)/2时，
所求最小值为: (5+2√2)/2。

Answer 3

设t=x-1
则，2/t+1/y=2
x+y=t+1+y
=1+(t+y)
=1+1/2·(t+y)·2
=1+1/2·(t+y)·(2/t+1/y)
=1+1/2·(3+2y/t+t/y)
≥1+1/2·[3+2·√(2y/t·t/y)]
≥5/2+√2

Answer 4

另a=x-1 。然后不等式

Answer 5

百度位次法