Question

求幂级数(x-1)^n/4^n的收敛域及其和函数

Answer 1

先求收敛半径r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1
然后,
检验x=1,∑(n=0,∞) (n+1)明显发散
检验x=-1,∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明显发散
因此,收敛域为(-1,1)
令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n
在(-1,1)内,根据逐项积分：
∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt)
=∑(n=0,∞) (x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根据逐项求导：
[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2
因此,∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2,x∈(-1,1)

Answer 2

等比数列性质，另a=(x-1)/4
n=0开始
1+a+a^2+...+a^n-1=(1-a^n)/(1-a)
其收敛的充要条件是|a|<1
得到-3<x<5
和函数代入a的表达式就可以了

追问

感谢你！

感谢你！

Answer 3

追问

谢谢！

Answer 4

等比数列性质，另a=(x-1)/4
n=0开始
1+a+a^2+...+a^n-1=(1-a^n)/(1-a)
其收敛的充要条件是|a|<1
得到-3<x<5
和函数代入a的表达式就可以了

Answer 5

引用feiyida的回答：

是-3到5吧，不等式解错了