Question

关于幂级数收敛半径的问题，为什么题5算半径时不用管x而题7要





Answer 1

(5) 和定理吻合的幂级数，即是
∑anx^n这种幂级数，可以直接使用定理结论；
而
(7)是只含偶数项的幂级数，即是
∑anx^(2n-2) ,(这儿缺奇数次方项)
所以
不能直接使用定理结论，因为定理结论是根据不缺项的幂级数推导而得的。

Answer 2

比值跑车收敛半径时，为X^n,指数为n，七题只有偶数项

追问

T T不懂可以详细点吗

追答

就是要保证项数完整才不用管x

追问

所以如果不完整比的时候要带上x的意思吗

追答

是的，其实都可以带上，极限小于1解出x范围

记得采纳啊

Answer 3

定义幂级数 f为：。其中常数 a是收敛圆盘的中心，cn为第 n个复系数，z为变量。
收敛半径r是一个非负的实数或无穷大（），使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。
具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：
ρ是正实数时，1/ρ。
ρ = 0时，+∞。
ρ =+∞时，R= 0。
根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：
或者。复分析中的收敛半径
将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：
一个中心为 a的幂级数 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。
到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。
最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数
没有复根。它在零处的泰勒展开为：
运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 f(z) 在 ±i 存在奇点，其与原点0的距离是1。