Question

学霸快来：抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A（-1，0），B（3,0）​，与y轴交于点C（0，-3），

如图：抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0，-3），且对称轴为x=1,点D（1，-4）为顶点，连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E（1,0），

（1）连接BC交DE于点P（1，-2），点Q是线段BD上的一个动点，自点D以√5个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将⊿DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D’，设Q点的运动时间为t（0≤t≤4/5）秒，求使得⊿D’PQ与⊿PQB重叠部分的面积为⊿DPQ面积的1/2时对应的t值

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Answer 1

BD: (y - 0)/(-4 - 0) = (x - 3)/(1 - 3)
y = 2(x - 3), 斜率为2 = tanθ = sinθ/cosθ = sinθ/√(1 - sin²θ)
sinθ = 2/√5, cosθ = 1/√5
DB = 2√5
t秒时(0≤t≤4/5): DQ = √5t
Q的横坐标 = D的横坐标 + DQcosθ = 1 + √5t/√5 = 1 + t
Q的纵坐标 = D的纵坐标 + DQsinθ = -4 + √5t*2/√5 = -4 + 2t
Q(1+t, 2t - 4)

Q点的运动时间为t (0≤t≤4/5), 则Q移动的最远距离为4√5/5, 此时Q(9/5, -12/5)； 容易验证，这时PQ与DB垂直。

令PD'与BD的交点为R. 三角形D'PQ与三角形PQB的重叠部分为三角形PQR. 后二者(PQB和PQR)的高均为P与BD的距离，所以只需QR = DQ/2即可。
根据P, Q的坐标可得PQ的方程。

设D'(u, v), DD'的中点M((u+1)/2, (v-4)/2)在PQ上，这样列出第一个方程(u, v为未知数)
然后求DD'的斜率k', DD'与PQ垂直，k'与PQ的斜率k之积kk' = -1, 这是第二个方程。
联立可以得出D'的坐标(用t表示), 接着可以求出PD'的方程；与BD的方程联立可得R的坐标。
然后用QR = DQ/2可以求出t
其实不用求出距离，用(R的横坐标 - Q的横坐标) = (1/2)(Q的横坐标 - D的横坐标)即可。