Question

设函数f(x)在闭区间[0 1]上连续 在开区间(0 1)内可导 且f(0)=f(1)=0.

试证:ζ属于（0,1），使得f`（ζ）=2004f(ζ)

Answer 1

设g（x）=e^（-2004x）f（x），则g（x）在闭区间[0,1]连续，在开区间（0,1）可导，且g（0）=1f（0）=0，g（1）=e^（-2004）f（1）=0，g‘（x）=-2004e^（-2004x）f（x）+e^（-2004x）f'（x）=e^（-2004x）（f’（x）-2004f（x）），g（x）满足罗尔定理条件，因此，存在ζ∈（0,1），使得g‘（ζ）=e^（-2004ζ）（f’（ζ）-2004f（ζ））=0，因此f’（ζ）=2004f（ζ）