Question

证明f(x)=2x²+4x在（-∞，-1）上是递减函数。

高一数学题，要有过程。

Answer 1

证法一：导数法
f'(x)=2·2x+4=4x+4=4(x+1)
x∈(-∞，-1)，x+1<0，4(x+1)<0
f'(x)<0，函数在(-∞，-1)上是减函数。

证法二：定义法
设x1<x2<-1
f(x2)-f(x1)
=2x2²+4x2-2x1²-4x1
=2(x2²-x1²)+4(x2-x1)
=2(x2+x1)(x2-x1)+4(x2-x1)
=2(x2-x1)(x2+x1+2)
x1<x2，x2-x1>0
x1<-1，x2<-1，x1+x2<-2，x1+x2+2<0
又2>0，因此2(x2-x1)(x2+x1+2)<0
f(x2)<f(x1)
函数在(-∞，-1)上是减函数。

证明函数单调性，导数法、定义法都是最常见的证明方法。
相比较而言，定义法是基础，导数法比较简便。

Answer 2

追问

没有明白2（x1-x2)(x1+x2+2)是怎么得来的？能不能把这步再详细一点。

追答

2[(x1)²-(x2)²]+4(x1-x2)=2(x1+x2)(x1-x2)+4(x1-x2)=2(x1-x2)(x1+x2+2)