Question

某一点方向导数取最大时的方向一定是这一点的梯度方向吗？书上那个关于梯度和方向导数的关系是充要的吗

Answer 1

1、方向导数是函数沿各个方向的导数,梯度是一个向量,因此梯度本身是有方向的

2、它们的关系主要有两个：

（1）函数在梯度这个方向的方向导数是最大的,换句话说,一个函数在各个方向都有方向导数,其中梯度这个方向的导数为最大；

（2）函数方向导数的最大值为梯度的模.

函数f(x1，x2，...，xn)在点x0沿方向u=(u1，u2，...，un)的方向导数为

af/ax1*u1+af/ax2*u2+...+af/axn*un=<Df(x0), u>，

其中Df(x0)就是f在x0的梯度向量，<>表示内积。

由Cauchy_Schwartz不等式知道当且仅当u和Df(x0)同方向时，内积最大，

反方向时内积最小;

因此u=Df(x0)/||Df(x0)||时，方向导数最大;

u=-Df(x0)/||Df(x0)||时，方向导数最小。

（3）梯度和方向导数的关系是充要的

扩展资料：

1、方向导数本质上研究的是函数在某点处沿某特定方向上的变化率问题，梯度反映的是空间变量变化趋势的最大值和方向。方向导数与梯度在微分学中有重要的运用。

2、在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

参考资料来源：百度百科-方向导数与梯度

参考资料来源：百度百科-方向导数

Answer 2

方向导数是函数沿各个方向的导数,梯度是一个向量,因此梯度本身是有方向的.
它们的关系主要有两个：
1、函数在梯度这个方向的方向导数是最大的,换句话说,一个函数在各个方向都有方向导数,其中梯度这个方向的导数为最大；
2、函数方向导数的最大值为梯度的模.
如果解决问题请采纳.

追答

望采纳。

Answer 3

是重还是充

追问

充

追答

哦

在(x0.y0)点出发的方向由无穷多个，那这时函数变化快慢就由方向导数来反映。
假如在所在的屋顶是一个曲面，你所在的地面就是定义域，你站在一点，头上对应屋顶一点，当你要从这点离开时，屋顶的高度是变大还是变小，变化的程度怎样?这就是方向导数反映的。
梯度的方向是一个特定的方向，你往这个方向走屋顶就向最陡峭的方向，梯度的模反映陡峭到什么程度。
一元函数在一点的导数是反映函数在这点变化趋势快慢的量，并且导数值是反映自变量由小变大时，函数值的增大趋势。自变量由大到小变化时，函数值的增大趋势是由负的导数值描述，这点很重要。
二元函数的偏导数，本质上就是一元函数z=f(x,y0)的导数，反映曲面上的一条平面曲线：
z=f(x,y)，y=y0,在点(x0.y0)这点沿着x由小到大的方向变化时，z=f(x,y0)的变化快慢。
显然，对二元函数而言，两个偏导数，只是反映了在点(x0.y0)沿着坐标轴方向上，函数变化快慢，坐标轴的反向变化情况，是由负的偏导数反映。
紧接着的问题是，沿着任意方向的方向导数都存在，偏导数不一定存在。因为偏导数存在要求沿着坐标轴正向的与反向的方向导数必须是绝对值相等符号相反才成。

Answer 4

哦