Question

高数中关于函数极限的保号性证明的问题。 如图为什么让ε=A/2,ε在定义中不是说过

高数中关于函数极限的保号性证明的问题。
如图为什么让ε=A/2,ε在定义中不是说过任取吗，为什么要取A/2？
而且还得出推论|f(x)|>|A|/2？
如果我取的ε=A/3岂不是推论也变成了
|f(x)|>|A|/3了吗？

Answer 1

需要区分情况。
①如果是【证】极限，ε必须是任取的。
②本问题中，已知极限存在，即已满足极限定义，
即对任取的ε，极限定义语都成立，
因此对具体取定的ε=A/2也成立，
这是【用】极限。
另，在定理3中，当A>0时，如果取ε=A/3，
则得到f(x)>2A/3>0，
在此关键是得到f(x)>0，而不是f(x)具体大于几。

追问

可是关于保号性的证明我还是有些不明白。既然已知极限存在的情况下对任意ε都成立，如果我令ε=2A的话，画图的话有一部分f(x)是小于零的啊？我这么想是哪里不对呢？

就规定了ε>0，用它表示无限接近，也没说多小是小啊？

哪里不对呢？麻烦指教我一下啊。要考试了。