若函数f(x)=x^3-3x+a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是?
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若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是(-2,2)
∵f′(x)=3x2-3=0
解得x=1或x=-1,
当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)在(-1,1)上单调递减;
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-1)、(1,+∞)上单调递增,
故当x=1时,f(x)取极小值-2+a,当x=-1时,f(x)取极大值2+a,
∵f(x)=x3-3x+a有三个不同零点,
∴
-2+a<0 2+a>0 ,解得-2<a<2
∴实数a的取值范围是:(-2,2).
故答案为:(-2,2)
∵f′(x)=3x2-3=0
解得x=1或x=-1,
当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)在(-1,1)上单调递减;
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-1)、(1,+∞)上单调递增,
故当x=1时,f(x)取极小值-2+a,当x=-1时,f(x)取极大值2+a,
∵f(x)=x3-3x+a有三个不同零点,
∴
-2+a<0 2+a>0 ,解得-2<a<2
∴实数a的取值范围是:(-2,2).
故答案为:(-2,2)
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