Question

高数单侧极限问题

Answer 1

解：lim(x→1-) arccot[1/(x-1)]=arccot(-1)=-π/4;
lim(x→1+) arccot[1/(x-1)]=arccot1=π/4;
这种情况很正常，它与函数的左右极限是两回事，如果把它看作是左右极限，那么，函数在x=0处就不连续了。因为选用的增量分别是：△x>0和-△x，这种情况在函数求极限中经常见到。如果求极限是lim(x→0+) f(x+△x)-f(x)或者lim(x→0-) f(x)-f(x-△x)；这样函数值的符号才可以一致。而这道题是函数的走势，而不是在这一点的函数我们在求导数所讲的左右极限，所以，这种单侧的极限问题很正常，说明函数在这里有一个转折点，如果函数向左发展就是负值，向右发展就是正值。不要看做是函数的左右极限。看一下求导数的公式就会明白其中的道理。
从你善于发现问题来看，你具有注意观察的天赋，牛顿就是从发现从树上掉下的苹果而发现了万有引力定律。请努力吧！你可能会是中国学术界的一颗新星。

Answer 2

第二个，x≠2
因为x<2和x>2时，f(x)的表达式相同；
无论是求x→2的左极限还是右极限，实际上都是将x=2带入同一个式子，
即左极限=右极限，当然不需要求单侧极限。

Answer 3

可考虑先画出1/x-1的图形，判断x从两侧趋近1是的值的情况，之后结合arccot的图形，或者取值情况来判断。不明白可追问，谢谢！

Answer 4

这个要根据图像看，当x趋近于1负时，x-1趋近于0负，所以1/x-1趋近于负无穷，再根据图像知，arccot1/x-1=π
当x趋近于1正时，x-1趋近于0正，所以1/x-1趋近于正无穷，再根据图像知，arccot1/x-1=0

Answer 5

数形结合是最简单的，知道了图就很好做了。简单的画一个arccot x 的图出来就行了。arccot x 和 cot x 是反函数关系，cot会画把，那么关于y=x对称就画出来了。和那个tan x是关于y轴对称的（自己画出来看）。然后lim x→1- ，定义域为-∞，看图可以知道值为π，同理lim x→1+，定义域+∞，看图知-π。