Question

这道数学题，求过程？

Answer 1

解：f'(x)=e^x+2ax+b；故f'(t)=e^t+2at+b；(0<t<1)；
那么过(t，f(t))的切线方程为：y=(e^t+2at+b)(x-t)+e^t+at²+bt；
令x=0，得y=-t(e^t+2at+b)+e^t+at²+bt=(1-t)e^t-at²，即Q点的坐标为(0，(1-t)e^t-at²)；
已知(1-t)e^t-at²<1，由此得a>[(1-t)e^t-1]/t²]...............(1)；
设u=[(1-t)e^t-1]/t²；当0<t<1时：du/dt=[-(t²-2t+2)e^t+2]/t³={(e^t)[-(t-1)²-1]+2}/t³<0
即在0<t<1时u=[(1-t)e^t-1]/t²单调减，故应取a>u(0)；但在区间(0，1]内，u(0)无定义，为此取u(0)=t→0limu=t→0lim{[(1-t)e^t-1]/t²}=t→0lim[-(e^t)/2]=-1/2；故为使不等式(1)恒成立，应取a>-1/2，这就是a的取值范围。