Question

怎么证明质数有无限多

Answer 1

用反证法。

具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

扩展资料：

1、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。

2、存在任意长度的素数等差数列。

3、一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年）

4、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）

5、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 （1 + 5）（中国潘承洞，1968年）

6、一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 （1 + 2）

Answer 2

欧几里得质数无穷性的严格证明：
假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，记集合A={p1,p2,…pn}；则pn为最大的素数；
设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1>pn，因为pn为最大的素数，因此N+1为合数。
因为任何一个合数都可以唯一分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，集合A中没有N+1的素因子，即N+1的素因子必然大于pn，这与“pn为最大的素数”假设相矛盾。
综上，假设不成立，因此质数有无穷个。

Answer 3

常见的有反证法 ，假定有有限个素数，设最大的素数为N，令P=N！+1，显然从任意的 N内的素数均不能整除P，由素数定义知显然P为素数，这与N为最大素数矛盾，因为P>N，则知素数有无穷多个。
另外还有欧拉乘积证明。

Answer 4

假设质数有限
则必然存在一个最大的
假设最大质数是p
则令N=2*3*5*7*……*p+1
即把所有质数相乘再加上1
则显然N>p
所以N是合数
则N至少能被一个质数整除
单数,用2,3,5,……,p去除N
结果都余1
所以N或者是质数,或者拥有大于p的质因数
但这都和p是最大质数矛盾
所以假设错误
所以质数又无数个
所以质数集是无限集