线性代数,第三题第一个求详细
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显然A^3有特征值1,1,(-2)^3=-8
且根据Aa=-2a
得知A^3a=-8a
即a也是A^3的特征向量(属于特征值-8)
为构造正交相似矩阵P,让A对角化,可以将a先单位化,得到b=a/√2
A^3与对角阵D=diag(1,1,-8)相似,即存在可逆正交矩阵P(第3列是列向量b),
使得P^TA^3P=D
A^3=PDP^T
则
而D=I+diag(0,0,-9)
则PDP^T=P(I+diag(0,0,-9))P^T=PIP^T+Pdiag(0,0,-9)P^T
=I + Pdiag(0,0,-9)P^T
而Pdiag(0,0,-9),相当于将矩阵P第3列(列向量b)乘以-9,前两列都变成0,
即等于(-9/√2)*
0 0 1
0 0 1
0 0 -2
此时用此矩阵左乘P^T,相当于将矩阵P^T作如下变换:
第1行、第2行,都变成与第3行相同,
然后第3行元素,乘以-2
也即,(-9/√2) *
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2
/√2
=(-9/2)*
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2
则A^3=PDP^T=I + Pdiag(0,0,-9)P^T
=I+
(-9/2)*
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2
=
-7/2 0 -9/2
-9/2 1 -9/2
9 0 10
且根据Aa=-2a
得知A^3a=-8a
即a也是A^3的特征向量(属于特征值-8)
为构造正交相似矩阵P,让A对角化,可以将a先单位化,得到b=a/√2
A^3与对角阵D=diag(1,1,-8)相似,即存在可逆正交矩阵P(第3列是列向量b),
使得P^TA^3P=D
A^3=PDP^T
则
而D=I+diag(0,0,-9)
则PDP^T=P(I+diag(0,0,-9))P^T=PIP^T+Pdiag(0,0,-9)P^T
=I + Pdiag(0,0,-9)P^T
而Pdiag(0,0,-9),相当于将矩阵P第3列(列向量b)乘以-9,前两列都变成0,
即等于(-9/√2)*
0 0 1
0 0 1
0 0 -2
此时用此矩阵左乘P^T,相当于将矩阵P^T作如下变换:
第1行、第2行,都变成与第3行相同,
然后第3行元素,乘以-2
也即,(-9/√2) *
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2
/√2
=(-9/2)*
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2
则A^3=PDP^T=I + Pdiag(0,0,-9)P^T
=I+
(-9/2)*
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2
=
-7/2 0 -9/2
-9/2 1 -9/2
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