Question

已知f(x)在闭区间[a,b]内严格单增，而且是下凸函数，证明：∫(a,b)f(x)dx≤1/2(b-a)[f(a)+f(b)]

而且，知识不能用超了，我看到某答案用了二重积分，但是我们根本还没学到二重积分。。。最多学了微积分中值定理

Answer 1

几何意义上说,曲线f(x)与直线x=a,x=b,x轴围成的曲边梯形的面积,要小於顶点为(a,0),(b,0),(a,f(a)),(b,f(b))的直角梯形的面积.这个自己结合图像就能很清楚看出来我就不多说了.
严格证明的话也很简单.由下凸函数的定义,在区间[a,b]上,对於任意λ∈(0,1),都有f[λa+(1-λ)b]≤λf(a)+(1-λ)f(b)
令x=λa+(1-λ)b,那麼x∈(a,b).设点A(a,f(a)),B(b,f(b)),则直线AB方程为
y-f(a)=[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)(我设这条直线为g(x)=mx+n)
将x=λa+(1-λ)b代入AB方程,化简得y=λf(a)+(1-λ)f(b)
也就是说在[a,b]上恒有f(x)≤g(x)
根据定积分的性质,∫[a,b]f(x)dx≤∫[a,b]g(x)dx
∫[a,b]g(x)dx=∫[a,b](mx+n)dx
=1/m*1/2*(mx+n)²|[a,b]
=1/2*(b-a)*[f(a)+f(b)]
原不等式成立