高中数学数学归纳法证明不等式
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当n=1时,左边=1/(1+1)=1/2,右边=13/24,左边<右边
设当n=k时不等式成立,即
∑(i=1→k)i/(k+i)<13k/24
当n=k+1时
∑(i=1→k+1)i/(k+1+i)
=∑(i=1→k)i/(k+1+i)+(k+1)/(k+1+k+1)
<∑(i=1→k)i/(k+i)+1/2
<13k/24+13/24
=13(k+1)/24
即当n=k+1时,不等式成立
综上,对任意正整数n,∑(i=1→n)i/(n+i)<13n/24都成立
设当n=k时不等式成立,即
∑(i=1→k)i/(k+i)<13k/24
当n=k+1时
∑(i=1→k+1)i/(k+1+i)
=∑(i=1→k)i/(k+1+i)+(k+1)/(k+1+k+1)
<∑(i=1→k)i/(k+i)+1/2
<13k/24+13/24
=13(k+1)/24
即当n=k+1时,不等式成立
综上,对任意正整数n,∑(i=1→n)i/(n+i)<13n/24都成立
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