Question

计算由曲面z=2-x^2-y^2及z=√(x^2+y^2)所围成的立体的体积

Answer 1

首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,得到：

2-x²=x²+2y²

即

x²+y²=1

所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了：x²+y²=1

要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²<1.用这个条件,我们发现2-x²>x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面。

根据上面的讨论,我们就可以写出体积分：

V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz

这里用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限,^(2-x²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=1.)

对z的积分很容易：

∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²

剩下的就是对xy的两重积分。

V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy

这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.

V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ

两个积分各为：

∫_0^(2π)dφ=2π

∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2

V=(1/2)2π=π

所以体积是π。

扩展资料：

根据不同的分类标准，曲面有许多不同的分类方法。

1)根据母线运动方式分类

(1)回转面——由母线绕一轴线旋转而形成的曲面；

(2)非回转面——由母线根据其他约束条件运动而形成的曲面。

2)根据母线的形状分类

(1)直纹曲面——凡是可以由直母线运动而成的曲面，如圆柱面、圆锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、双曲抛物面、锥状面和柱状面等；

(2)双曲曲面——只能由曲母线运动而成的曲面，如球面、环面等。

同一个曲面可能由几种不同的运动形式形成。如圆柱面，即可以看做是直线绕着与之平行的轴线做旋转运动而成，也可以看做是一个圆沿轴向平移而形成的。

Answer 2

首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,我们得到：
2-x²=x²+2y²
即
x²+y²=1
所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了：x²+y²=1
要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²<1.用这个条件,我们发现2-x²>x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面.
根据上面的讨论,我们就可以写出体积分：
V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
这里我用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限,^(2-x²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=1.)
对z的积分很容易：
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是对xy的两重积分.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为：
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2π=π
所以体积是π.

Answer 3

联立方程，消去z得交线在xoy面的投影曲线为x^2+y^2=1,所以V=∫∫x^2+y^2＜=1(2-x^2-y^2-√(x^2+y^2))dxdy=5∏/6(二重积分自己算一下吧)

Answer 4

先画个草图，

直接用柱坐标系来算，简单快捷

详情如图所示，有任何疑惑欢迎追问