Question

高数 第3题 ，，

Answer 1

φ(x)=e^x + ∫(x,0) (t-x) φ(t)dt
=e^x + ∫(x,0) tφ(t)dt - x∫(x,0) φ(t)dt
两边同时求导
φ'(x)=e^x + xφ(x) - ∫(x,0) φ(t)dt - xφ(x)
=e^x - ∫(x,0) φ(t)dt
再求导一次
φ''(x)=e^x - φ(x)
令φ(x)=y
则
y''=e^x -y
y''+y=e^x
二阶非齐次线性微分方程
1.求齐次的通解

特征方程
r²+1=0
r=±i
即α=0，β=1
则Y=C1cosx+C2sinx
2.求非齐次的特解

因为Pm(x)e^λx=e^x
所以Pm(x)=1，λ=1
而特征方程的根r1=0 ，r1=-1
λ=1不是特征根。
所以k=0
令Qm(x)=A
所以设y*=Ae^x
y*'=y*''=Ae^x
代入原方程
y*''+y*=e^x
Ae^x+Ae^x=e^x
得A=1/2
所以y*=(1/2)e^x
综上，该非齐次的通解为
y=Y+y*=C1cosx+C2sinx+(1/2)e^x
即φ(x)=C1cosx+C2sinx+(1/2)e^x

追问

追答

这个方程是
y''+y=e^x

不是y''+y'=e^x

两个特征方程不同的

追问

哦哦哦 明白了 感谢感谢