Question

f（x）在［0，正无穷）可导，f（0）＝0，0≤f'（x）≤f（x），求证f（x）恒等于0

Answer 1

因为f（x）在x=0处可导，故f（x）在x=0处连续．既有：
lim
x→0+
f（x）=
lim
x→0−
f(x)=f（0）=0；

lim
x→0+
F（x）=
lim
x→0+
f(x)
x

=
lim
x→0+
f'（x）（洛必达法则）
lim
x→0−

=f'（0）≠0；

lim
x→0−
F（x）=
lim
x→0−
f(x)
x

=
lim
x→0−
f'（x）（洛必达法则）
=f'（0）≠0；
因此：
lim
x→0+
F（x）=
lim
x→0−
F（x）．
即：F（x）在x=0时，左右极限都相等．
又F（0）=f（0）=0；
即：F（x）在x=0处极限值不等于F（0）；
故为间断点，又因为左右极限都相等，所以为第一类间断点．