Question

二次极限和二重极限

求函数x-y+x²+y²/x+y在(0,0)点的二重极限和二次极限。谢谢

Answer 1

∫√(1+1/x) dx
=∫√(x+1) /√x dx
=2∫√(x+1) d(√x)
令√x=t，
那么√(x+1) =√(t^2+1)
而∫√(t^2+1) dt
=√(t^2+1) *t - ∫t *d√(t^2+1)
=√(t^2+1) *t - ∫t^2/√(t^2+1) *dt
=√(t^2+1) *t - ∫√(t^2+1) -1/√(t^2+1)dt
于是2∫√(t^2+1) dt=√(t^2+1) *t +∫1/√(t^2+1)dt
即∫√(t^2+1) dt=t/2 *√(t^2+1) +1/2 *ln|t+√(t^2+1)| +C
所以代入√x=t，
原积分=2∫√(t^2+1) dt=√x *√(x+1) +1/2 *|√x +√(x+1)| +C，C为常数