Question

如何证明一个点集是开集

Answer 1

设X为一点集，Y为其内点集，P属于Y，证明P是Y的内点即可。 由于P是X的内点，所以存在P的开圆邻域U，使得U包含在X中，对于U中的任意一点Q，由于U是包含Q的开集，所以Q是X的内点，即Q属于Y，所以U包含在Y中。由于U是包含P的开集，且U包含在Y中，所以P是Y的内点。

Answer 2

设X为一点集，Y为其内点集，P属于Y，证明P是Y的内点即可。 由于P是X的内点，所以存在P的开圆邻域U，使得U包含在X中，对于U中的任意一点Q，由于U是包含Q的开集，所以Q是X的内点，即Q属于Y，所以U包含在Y中。由于U是包含P的开集，且U包含在Y中，所以P是Y的内点。