Question

高等数学题目

高等数学题目只求解第二小问

Answer 1

我只能证明在(0,3)中，存在ξ，使得f'(ξ)=λ-λf(ξ)

由题（1）可知，存在c∈(0,2)，使得f(c)=[f(0)+f(1)+f(2)]/3=1
令g(x)=[f(x)-1]e^(λx)
g(3)=[f(3)-1]e^(3λ)=0，g(c)=[f(c)-1]e^(cλ)=0
所以根据罗尔定理，存在ξ∈(c,3)⊆(0,3)，使得g'(ξ)=0
f'(ξ)e^(λξ)+λ[f(ξ)-1]e^(λξ)=0
f'(ξ)=λ-λf(ξ)

追问

我想问问这个辅助函数你的思路是怎样的。。。

追答

解常微分方程f'(x)=λ-λf(x)
df/(f-1)=-λdx
ln|f-1|=-λx+C
f-1=Ce^(-λx)
(f-1)e^(λx)=C，其中C是任意常数
所以令g(x)=[f(x)-1]e^(λx)