Question

跪求矩阵行列式的一个定理:|AB|=|A||B|的证明过程。

Answer 1

|AB|=|A||B| 用两次拉普拉斯公式即证，可以自己设二阶矩阵照我这种方法验证。

对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开。

扩展资料：

设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。

Answer 2

|AB|=|A||B| 用两次拉普拉斯公式即证，可以自己设二阶矩阵照我这种方法验证。

Answer 3

首先，如果|A|=0或者|B|=0, |AB|=0必然成立，反之依然
所以只要证明AB满秩的情况
首先容易证明：当A或B为初等阵时等式成立；
由于满秩阵都可以由初等阵化来,所以可以写成
A=P1P2P3...PnA0Q1Q2...Qm,其中A0为A的对角化标准阵,易知|A0B|=|A0|*|B|,所以
|AB|=|P1P2P3...PnA0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0||Q1||Q2|...|Qm||B|
=|A||B|
补充：|A0|=|A|,初等阵的行列式=1

Answer 4

任何矩阵都可以写作初等矩阵(对应与初等变换)的乘积,而三类初等矩阵与任意矩阵的左乘或者右乘的行列式都可以化为各自行列式的乘积