Question

求矩阵的特征值和特征向量

求如图矩阵的特征值和特征向量，请高手最好在纸上用手写，罗列出计算过程，拍照发上来，如果拍照不好上传，直接回复罗列具体过程也可以。非常感谢

Answer 1

① 求多项式方程的解det(A－λE)＝0，三阶矩阵即三次代数方程，应有三个方程根，即3个特征值。
② 对于3个特征值，需要分别求3个齐次方程组。常见情况是: 1个特征值对应1个齐次方程组，1个齐次方程组对应1个自由未知量，1个自由未知量对应1个基向量( 特征向量 )。 现将特征值 λ1 代入原矩阵，得到对应齐次方程组(A－λE)X＝0，求出解空间的基，记λ1对应基向量→β1。
③ 再依次将 λ2、λ3 代入原矩阵，仿照上面步骤求出解空间的基，记λ2对应基向量→β2；λ3对应基向量→β3。
④ 3个特征值对应→3个特征向量，即矩阵A可对角化，满足相似变换定理，可验证等式(P逆)AP＝Λ成立。
⑤ 若λ2＝λ3，就称λ2是二重根。将λ2代入原矩阵得齐次方程组，求解方程组有二种结局。第一种: 有2个自由未知量 ( 总未知量n＝3，3-1＝2 )，基向量＝2个，∴原矩阵亦满足相似变换定理，矩阵A可对角化。第二种: 只有1个自由未知量，即基向量＝1个。 2个特征值，仅一个基向量(坐标轴)，必有一个特征值无对应坐标轴，这个特征值在空间无法定标。设λ2对应一个基向量，则λ3无法在线性空间确定它的位置。此时矩阵A不满足相似变换定理。∵3个特征值，只存在二个线性无关特征向量，只能建立二维坐标轴，A(βⅰ)＝(λⅰ)(βi)说明每个特征值坐标必须落在特征向量坐标轴上，∴称矩阵A不可对角化。
■ 按照上述求解方法与思路，自己算一下吧。

Answer 2

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Answer 5