Question

求下列矩阵的特征值和特征向量

1　　1　　　1　　　1 1　　1　　－1　　－1 1　－1　　　1　　－1 1　－1　　－1　　　1

Answer 1

解:
|A-λE|
=
1-λ
1
1
1
1
1-λ
-1
-1
1
-1
1-λ
-1
1
-1
-1
1-λ
ri+r1,
i=2,3,4
1-λ
1
1
1
2-λ
2-λ
0
0
2-λ
0
2-λ
0
2-λ
0
0
2-λ
c1-c2-c3-c4
-2-λ
1
1
1
0
2-λ
0
0
0
0
2-λ
0
0
0
0
2-λ
=
-(2+λ)(2-λ)^3.
所以,
A的特征值为
2,2,2,-2.
A-2E=
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-->
1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(A-2E)X=0
的基础解系为:
a1=(1,1,0,0)',a2=(1,0,1,0)',a3=(1,0,0,1)'
所以A的属于特征值2的全部特征向量为
c1a1+c2a2+c3a3,
c1,c2,c3
不全为0
A+2E
=
3
1
1
1
1
3
-1
-1
1
-1
3
-1
1
-1
-1
3
-->
1
0
0
1
0
1
0
-1
0
0
1
-1
0
0
0
0
(A+2E)X=0的基础解系为
a4=(-1,1,1,1)'
所以A的属于特征值-2的全部特征向量为
c4a4,
c4为任意非零常数.