Question

求下列矩阵的特征值和特征向量{-1 2 2}{2 -1 -2}{2 -2 -1}

速答 。。。。。

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ那么
|A-λE|=
-1-λ 2 2
2 -1-λ -2
2 -2 -1-λ 第3行减去第2行

=
-1-λ 2 2
2 -1-λ -2
0 -1+λ 1-λ 第2列加上第3列
=
-1-λ 4 2
2 -3-λ -2
0 0 1-λ
=(1-λ)(λ^2+4λ-5)=0
解得λ=1，1，-5
λ=1时，
A-E=
-2 2 2
2 -2 -2
2 -2 -2 第2，3行加上第1行，第1行除以-2
～
1 -1 -1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(1,1,0)^T和(1,0,1)^T
λ= -5时，
A+5E=
4 2 2
2 4 -2
2 -2 4 第1行加上第2行，第3行减去第2行
～
6 6 0
2 4 -2
0 -6 6 第1行除以6，第2行减去第1行*2
～
1 1 0
0 2 -2
0 -6 6 第2行除以2，第1行减去第2行，第3行加上第2行*6
～
1 0 1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(-1,1,1)^T
所以
矩阵的特征值为1，1，-5
对应的特征向量为(1,1,0)^T、(1,0,1)^T和(-1,1,1)^T