高数 各位大神帮忙看下，我是哪里算错了还是想错了。谢谢
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求微分方程 y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解
解：齐次方程y''+3y'+2y=0的特征方程 r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根 r₁=-1，r₂=-2；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)；
由于方程右边的函数f(x)=3xe^(-x)中，e的指数里有-1，而-1是特征方程的一个根，故
方程的特解应设为：y*=x(ax+b)e^(-x)=(ax²+bx)e^(-x);
y*'=(2ax+b)e^(-x)-(ax²+bx)e^(-x)=[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x);
y*''=(-2ax+2a-b)e^(-x)-[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)=[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x);
代入原式并消去e^(-x)得：
[ax²-(4a-b)x+2a-2b]+3[-ax²+(2a-b)x+b]+2(ax²+bx)=2ax+2a+b=3x
故2a=3，a=3/2；2a+b=3+b=0，∴b=-3；于是得特解：y*=[(3/2)x²-3x]e^(-x)；
∴原方程的通解为： y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)+[(3/2)x²-3x]e^(-x);
解：齐次方程y''+3y'+2y=0的特征方程 r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根 r₁=-1，r₂=-2；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)；
由于方程右边的函数f(x)=3xe^(-x)中，e的指数里有-1，而-1是特征方程的一个根，故
方程的特解应设为：y*=x(ax+b)e^(-x)=(ax²+bx)e^(-x);
y*'=(2ax+b)e^(-x)-(ax²+bx)e^(-x)=[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x);
y*''=(-2ax+2a-b)e^(-x)-[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)=[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x);
代入原式并消去e^(-x)得：
[ax²-(4a-b)x+2a-2b]+3[-ax²+(2a-b)x+b]+2(ax²+bx)=2ax+2a+b=3x
故2a=3，a=3/2；2a+b=3+b=0，∴b=-3；于是得特解：y*=[(3/2)x²-3x]e^(-x)；
∴原方程的通解为： y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)+[(3/2)x²-3x]e^(-x);
更多追问追答
追问
想接着请教一下，我看您这边求出y*的倒数后带回到了原方程。
但是这个时候r^2+pr+q=0,因此可不可以只带回到y*''+(2r+p)y*'=3xe^(-x)上呢
追答
不可以这么作。
所设特解y*=(ax²+bx)e^(-x)中有两个待定的常数a和b，
必须把y*，y*'和y*''一起代入原方程，由相应项系数相
等的原理确定a，b；
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2024-12-15 广告
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