Question

已知函数f(x)=0.5x^2-alnx(a∈R) (1)求函数f(x)的单调区间 (2)求证x>1时，0.5X^2+lnx<（2/3）x^3

用导数的知识计算

Answer 1

f'(x)=x+a/x=(x^2+a)/x
若f'(x)>0
则x(x^2+a)>0
若a>0,则x^2+a>0,x>0
若a=0,x^3>0,则x>0
若a<0,则-√(-a)<x<0,x>√(-a)
同理可得f'(x)<0
又由定义域，x>0

所以
在x>0时
若a>=0,则整个定义域都是增函数
若a<0,则递减区间(0,√(-a)),递增区间(√(-a),+∞)

g(x)=(2/3)x^3-0.5x^2-lnx
g'(x)=2x^2-x-1/x=(2x^3-x^2-1)/x=(x-1)(2x^2+x+1)/x
2x^2+x+1恒大于0， x>1,x-1>0,x>0
所以g'(x)>0
g(x)当x>1是增函数
g(1)=2/3-0.5-0>0
所以x>1,g(x)>g(1)>0
所以(2/3)x^3-0.5x^2-lnx>0
0.5x^2+lnx<(2/3)x^3