Question

若一向量组只有唯一的一个极大无关组,则该向量组线性无关吗？

Answer 1

则该向量组除了零向量之外是线性无关的。

证明如下：

假如向量组中除了零向量之外是线性相关的，α1……αt是它的唯一的极大无关组。则向量组中不只有这t个非零向量。任意取定一个这样的非零向量α。则 α＝k1α1+……+ktαt.其中k1……kt不全为零。（否则α＝0），不妨设k1≠0. 则α1＝（1/k1）α+（-k2/k1）α2+……+（-kt/k1）αt 请楼主自己验证｛α，α2，……，αt｝也是原向量组的一个极大无关组。与唯一性矛盾。

扩展资料：

其中线性特性可描述为：

设a，b为任意常数，则对于函数f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，

{af(x，Y)+bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y)+bh(x，y)*g(z，y)。

同样有：

f(x，y)*{ah(x，y)+bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y)+bf(x，y)*g(x，y) 。 

Answer 2

该向量组除了零向量外，其余向量是它的极大线性无关组。

如果向量组是满秩的，则极大无关组只有一个，

如果向量组不满秩，则极大无关组不止一个，可以有多个 。

向量组的极大线性无关组的定义就是原组中的每个向量都可以由这个线性无关组中的向量线性表示；唯一性来自于线性无关，若其中一个向量有两种表示，这两种表示相减，得到该组向量的一个系数不全为零的线性组合为零向量，与这个组线性无关矛盾。

扩展资料：

向量组与其最大线性无关组，可互相线性表示。两向量组等价。

向量组S的任两个最大线性无关组S_1, S_2，也可互相线性表示。即S_1, S_2等价。

一个向量组的任两个最大无关组所含有的向量个数相等。即向量组的秩相等。

参考资料来源：百度百科-最大线性无关向量

Answer 3

不一定。例如，在一个线性无关组里加入一个零向量，则新向量组是线性相关的，但它仍只有一个极大无关组。