Question

球的半径为R，求其内接正四面体体积。

Answer 1

解：设正四面体棱长为a,顶点为A,高为AM,球心为O.则有AM^2=[(√3a)/2]^2-[(√3a)/6]^2
得AM=AO+OM=R+OM=(2a√6)/6①
有OM/R=1/3②
由得①②a=4R/(a√6)
又因为可求底面S=[（√3)/4]*a^2
v=(1/3)*S底面*AM=(√2)/12a^3
∴所求其内接正四面体体积v={(8√3/27]*R^3
完毕.

Answer 2

这个题采用补形的方法。
你应该知道这个吧？
在正方体中可以放进一个正四面体，
且正四面体的四个顶点是正方体八个顶点中的四个，
若正方体的棱长为a，那么正四面体的棱长即为(√2)a
解：
将半径为
R
的球内放一个内接正方体，
设正方体的棱长为
a
，则显然正方体的体对角线就是球的直径
所以：R
=
√3/2
a
再在正方体中内接一个正四面体，
显然，正方体中内接的正四面体也是球的内接正四面体
则正四面体的棱长就为：
√2
a
，
底面积:S
=
1/2×sin60°×2a^2=
√3
/2
a^2
在侧棱与高，与底面组成的直角三角形中，
高
H
=
√(2a^2
-
2/3
a^2)
=
2√3/3
a
体积
V
=
1/3
SH
=
1/3×
√3
/2
a^2
×
2√3/3
a
=
1/3
a^3
又
R
=
√3
/2
a，a
=
2√3/3
R
V
=
1/3
a^3
=
8√3/27
R^3