Question

二重积分对称性定理是什么？

Answer 1

二重积分对称性定理：积分区域d关于原点对称，f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数，则∫∫f(x,y)dxdy（在区域d上积分）=0（当f关于x,y的奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
或
∫∫f(x,y)dxdy（在区域d上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域d*上积分，其中区域d*是区域d在x>=0(或y>=0)的部分），（当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时）
奇函数
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫-f(-x,-y)dxdy=-∫∫f(-x,-y)dxdy==-∫∫f(x,y)d(-x)d(-y)=-∫∫f(x,y)dxdy
因此∫∫f(x,y)dxdy=0
偶函数同理