Question

圆内接正n边形和外切正n边形周长比

Answer 1

这两个多边形是相似多边形，其周长比等于其边长之比，也等于它们的半径之比；
而圆内接正n边形的半径正好是外切正n边形的边心距，于是就得到，所求之比就是正n边形的边心距与半径之比：cos(180/n）.
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2008-11-19
16:41
检举
设圆半径为r
内接正三边形与外切正三边形边长比为根号3r:2r
圆内接正四边形与外切正四边形边长比为根号2r:2r

Answer 2

正n边形的角为180(n-2)/n
设内接n边形边长为a,圆的半径为r,则
a=2r*cos(180(n-2)/n/2)=2r*cos(90-1/n)=2r*sin(180/n)
外切n边形边长为2r*ctan(180(n-2)/n/2)=2r*tan(180/n)
周长之比等于边长之比
所以周长之比为2r*sin(180/n):2r*tan(180/n)=cos(180/n)