Question

设二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点（-1,0），且对一切实数x,

Answer 1

由题意f(-1)=a-b+c=0①
对于x≤f(x)≤(1+x²)/2
令x=1得到1≤f(1)≤1
所以f(1)=1
所以a+b+c=1②
①②相减得到
b=1/2
a+c=1/2⇒ac≤(a+c)²/4=1/16
f(X)=ax²+1/2x+c
f(X)-X=ax²-1/2x+c≥0恒成立
那么a>0
且Δ
=1/4-4ac≤0
⇒
ac≥1/16
上面已经说明了ac≤1/16
所以ac=1/16
a=c=1/4
f(X)=1/4x²+1/2x+1/4=(x+1)²/4
1/f(n)=4/(n+1)²>4/(n+1)(n+2)=4[1/(n+1)-1/(n+2)]
写出来就是
1/f(1)>4(1/2-1/3)
1/f(2)>4(1/3-1/4)
...
1/f(n)=4[1/(n+1)-1/(n+2)]
全部相加得到
1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>4[1/2-1/(n+2)]=2n/(n+2)
命题得证

Answer 2

将（-1，0）代入得
b=a+c
由x≤f(x)=ax^2+(a+c)x+c
=>ax^2+(a+c-1)x+c≤0对一切x都成立，
所以有
a>0且判别式=(a-c)^2-2a-2c+1≤0

[1]
由f(x)≤（1+x^2)/2
=>(a-1/2)x^2+(a+c)x+(c-1/2)≤0对一切x都成立，
所以有
a-1/2<0且判别式=(a-c)^2+2a+2c-1≤0

[2]
不等式[1]和[2]两边相加得
2(a-c)^2≤0
=>a-c=0=>a=c
将结果代入[1]和[2]得
2a+2c-1≤0
[3]；-2a-2c+1≤0

[4]
由上面两式又可以发现
2a+2c-1=0，结合a=c得
a=c=1/4，满足0<a<1/2
所以
f(x)=(1/4)x^2+(1/2)x+(1/4)