Question

第一题，求微分方程y"+y=3x^2的通解，第二题：求微分方程y'-(y-x)^2=1的通解

Answer 1

解：1。∵原方程的特征方程是r²+1=0,则特征根是r=±i
∴原方程的齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx
(C1,C2是积分常数)
设原方程的特解是y=Ax²+Bx+C
∵y'=2Ax+B,y''=2A
代入原方程得2A+Ax²+Bx+C=3x²
==>A=3,B=0,2A+C=0
(比较同次幂的系数)
==>A=3,B=0,C=-6
∴原方程的特解是y=3x²-6
故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+3x²-6
(C1,C2是积分常数)
2。设u=y-x,则y'=u'+1
代入原方程得u'+1-u²=1
==>u'-u²=0
==>du/u²=dx
==>1/u=-x+C
(C是积分常数)
==>u=1/(C-x)
==>y-x=1/(C-x)
故原方程的通解是y=x+1/(C-x)
(C是积分常数)

Answer 2

此为一阶线性常微分方程，一般形式为：
y′+p(x)·y=q(x)
当q(x)=0时，此为齐次方程
当q(x)≠0时，此为非其次方程
对于这种方程，通常有两种解法：公式法和常数变易法
我一般用公式法(比较简单，直接套公式嘛，所以常数变易法就不提了)
公式为：y=e^（－∫p(x)dx）·[c+∫q(x)·e^（
∫p(x)dx）dx
],c为一般常数
对这道题，有：
y=e^(－∫dx/x)·[c+∫(x²+1)·[e^(∫dx/x)]
dx]
=e^(－lnx)·[c+∫(x²+1)·e^(lnx)
dx]
=1/x·[c+∫(x²+1)·x
dx]
=1/x·[c+∫(x³+x)dx]
=1/x·[c+x^4/4+x²/x]
=c/x+x³/4+x/2
，c为常数
希望我的解答对你有所帮助