Question

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC推导过程

Answer 1

sinA=a/2R
sinB=b/2R
sinC=c/2R
代入已知条件
b2/4R2+c2/4R2=a2/4R2+b/2R*c/2R
然后两边乘4R2即可

Answer 2

正弦定理证明方法
方法1:用三角形外接圆
证明：
任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
类似可证其余两个等式。
∴a/sina=b/sinb=c/sinc=2r
方法2:
用直角三角形
证明：在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
∴a/sina=b/sinb=c/sinc
在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。
方法3：用向量
证明：记向量i
，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(c-90))+0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0
∴a/sina
=c/sinc
(b与i垂直,i·b=0)
方法4：用三角形面积公式
证明：在△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作cd⊥ab垂足为点d，作be⊥ac垂足为点e，则cd=a·sinb，be=
c
sina,由三角形面积公式得：ab·cd=ac·be
即c·a·sinb=
b·c
sina
∴a/sina=b/sinb
同理可得b/sinb=c/sinc
∴a/sina=b/sinb=c/sinc