Question

求助线性代数3道题，求详细解答过程

Answer 1

1、由“a1,a2,a3线性无关，a4=a1+a2+a3”知A的秩是3，(1,1,1,-1)'是Ax=0的解，且是基础解系。由“b=a1+a2+a3+a4”知(1,1,1,1)'是Ax=b的一个解。所以
Ax=b的通解是x=(1,1,1,1)'+k(1,1,1,-1)'，k是任意实数。------'代表转置2、由A^2=A知A的特征值是0或1。由A对称知A可对角化，R(A)=3，所以A的特征值是1,1,1,0。A+E的特征值是2,2,2,1。|A+E|=2×2×2×1=83、证明方程组(Aa1,Aa2.Aa3)x=0只有零解即可。A可逆，所以方程组Ay=0只有零解。所以由(Aa1,Aa2.Aa3)x=A(a1,a2,a3)x=0知(a1,a2,a3)x=0。又a1,a2,a3线性无关，所以x=0。所以方程组(Aa1,Aa2.Aa3)x=0只有零解，所以Aa1,Aa2.Aa3线性无关。

Answer 2

1、由“a1,a2,a3线性无关，a4=a1+a2+a3”知A的秩是3，(1,1,1,-1)'是Ax=0的解，且是基础解系。由“b=a1+a2+a3+a4”知(1,1,1,1)'是Ax=b的一个解。所以
Ax=b的通解是x=(1,1,1,1)'+k(1,1,1,-1)'，k是任意实数。
------
'代表转置
2、由A^2=A知A的特征值是0或1。由A对称知A可对角化，R(A)=3，所以A的特征值是1,1,1,0。A+E的特征值是2,2,2,1。|A+E|=2×2×2×1=8
3、证明方程组(Aa1,Aa2.Aa3)x=0只有零解即可。
A可逆，所以方程组Ay=0只有零解。所以由(Aa1,Aa2.Aa3)x=A(a1,a2,a3)x=0知(a1,a2,a3)x=0。又a1,a2,a3线性无关，所以x=0。
所以方程组(Aa1,Aa2.Aa3)x=0只有零解，所以Aa1,Aa2.Aa3线性无关。