设椭圆的两个焦点为F1,F2。过F2做椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若⊿F1PF2为等腰三角形，求椭圆的方程
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设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
∵△F1PF2是等腰直角三角形，
则点P(c,
±2c)在椭圆上,代入椭圆方程,整理得
c^2(b^2+4a^2)=a^2b^2,
①
由半径公式及等腰直角三角形性质
2c=a-ec,
e^2+2e-1=0,
e=-1±√2,
但0<e<1,
∴c/a=e=√2-1.②
由a^2=b^2+c^2,
③
把①、②代入③
a=1.
b^2=2√2-2.
∴椭圆方程为
a^2+b^2/(2√2-2)=1.
∵△F1PF2是等腰直角三角形，
则点P(c,
±2c)在椭圆上,代入椭圆方程,整理得
c^2(b^2+4a^2)=a^2b^2,
①
由半径公式及等腰直角三角形性质
2c=a-ec,
e^2+2e-1=0,
e=-1±√2,
但0<e<1,
∴c/a=e=√2-1.②
由a^2=b^2+c^2,
③
把①、②代入③
a=1.
b^2=2√2-2.
∴椭圆方程为
a^2+b^2/(2√2-2)=1.
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