高一数学三角函数以及不等式的一道综合题
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sinAcosB≤(sin^2A+cos^2B)/2,sinBcosC≤(sin^2B+cos^2C)/2,sinCcosA≤(sin^2C+cos^2A)/2,
所以左边＜3/2
(三个角在三角形内无法等于。。)
只要证明一个不等式即可：sinAsinBsinC<1/4
设A≤B≤C,则
A≤π/6,cosC≤cosB,
A+B+C=π/2,B=π/2-A-C<π/2-C
sinB
25/16-1/4>0
所以右边>(25/16-1/4)^2=(21/16)^2>3/2.
接着可以证明：
左边≤3√3/4，以及sinAsinBsinC≤1/8.
所以左边＜3/2
(三个角在三角形内无法等于。。)
只要证明一个不等式即可：sinAsinBsinC<1/4
设A≤B≤C,则
A≤π/6,cosC≤cosB,
A+B+C=π/2,B=π/2-A-C<π/2-C
sinB
25/16-1/4>0
所以右边>(25/16-1/4)^2=(21/16)^2>3/2.
接着可以证明：
左边≤3√3/4，以及sinAsinBsinC≤1/8.
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