Question

已知为数列的前项和,且.若,证明:数列是等比数列;求数列的前项和.

已知为数列的前项和,且. 若,证明:数列是等比数列; 求数列的前项和.

Answer 1

先根据得到,然后两式相减可得到关系式,再结合对两边同时加可得到,即,即可证明数列是等比数列.
根据先求出数列的通项公式,进而可得到和的表达式,最后对数列进行分组求和即可得到答案.
解:时,,
.
由题意得,,
两式相减得
即.
于是,
即,
又.
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
由知,,,
由,得,
.
本题主要考查数列的通项公式的求法和数列的前项和的求法.求数列通项公式一般有公式法,构造法,累加法,累乘法等,求数列的前项和的方法有公式法,错位相减法,分组法,裂项法等.