Question

求证：如果一个平面经过一条线段的中点，那么这条线段的两个端点到平面的距离相等.

Answer 1

见解析 已知：线段 AB 的中点为 O ， O ∈平面 α . 求证： A 、 B 两点到平面 α 的距离相等. 证明：(1)当线段在平面 α 上时， A 、 B 两点显然到平面α的距离相等且为 0 . (2)当线段 AB 不在平面 α 上时，作 AA 1 ⊥ α ， BB 1 ⊥ α ， A 1 和 B 1 为垂足，则 AA 1 ， BB 1 分别是 A 、 B 到平面 α 的距离；且 AA 1 ∥ BB 1 ， AA 1 、 BB 1 确定平面 β ， β ∩ α ＝ A 1 B 1 ∵ O ∈ AB ,，AB β ∴ O ∈ β ，又 O ∈ α ∴ O ∈ A 1 B 1 ∴ AA 1 ⊥ A 1 O ， BB 1 ⊥ B 1 O ∵∠ AOA 1 ＝∠ BOB 1 ， AO ＝ BO ∴Rt△ AA 1 O ≌Rt△ BB 1 O ∴ AA 1 ＝ BB 1 ，即线段 AB 的两个端点到平面 α 的距离相等.