Question

反三角函数运算性质

Answer 1

反三角函数及性质
VIP免费 2020-09-04 2页 用App免费查看
y=arcsinx.
函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny.
习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式
请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。
反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。
理解 函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记
性质
根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1，1]，值域[－π/2，π/2]，是单调递增函数
图像关于原点对称，是奇函数
所以有arcsin(-x)=-arcsinx，注意x的取值范围:x∈[-1，1]
导函数：
，导函数不能取|x|=1
，

反正弦恒等式
sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1] (arcsinx)'=1/√(1-x^2)
arcsinx=-arcsin(-x) arcsin（sinx)=x ，x属于[0，π/2]
arccosx
反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。
就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a) = b，则arccos(b) = a；
它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1，1】。
由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0，π】，记作y=arccosx，我们称它叫做反三角函数中的反余弦函数的主值，

arctan x
反三角函数中的反正切。意思为：tan(a) = b; 等价于 arctan(b) = a

定义域 :{x∣x∈R} , 值域 ：y∈（-π/2,π/2)
计算性质：
tan(arctana)=a
arctan(-x)=-arctanx
arctan A + arctan B=arctan(A+B)/(1-AB)
arctan A - arctan B=arctan(A-B)/(1+AB)
反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x→0时，arctanx~x