Question

已知函数f(x)=1/2ax²+(1-a)x-lnx其中a>-1,若f(x)有两个极值点

1，求实数a的取值范围 2，当-1<a≤2时，讨论函数f(x)的零点个数

Answer 1

(1)f(x)的定义域为
x>
0
f(x)的导数=ax+1-
a
-
1/x
ax+1-
a
-
1/x=0
ax^2+(1-
a)x
-
1=0
(x-
1)(ax+1)=0
x1=1,x2=-
1/a
-
1/a>
0
所以
a<0
-
1
<a<0
(2)可判断f(x1)为极小值，f(x2)极大值
f(x1)=f(1)=1/2a+(1-a)-ln1=-1/2a+1>0
0<x<1时，易得f(x)>
0
1<x<-
1/a时，f(x)的导数>0，f(x)单调递增
x>-
1/a时，f(x)的导数<0，f(x)单调递减
零点个数为1个