Question

对于任意xy有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，且x>0时，f(x)>1

①证明f(x)在R上递增 ②已知f(1)=2，解关于不等式x，f(2x-3)>4

Answer 1

①由f(x+y)=f(x)+f(y)-1得f(x+y)-f(x)=f(y)-1
任取x1，x2，且x1＜x2
f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)=f(x2-x1)-1，因为x2-x1＞0，所以f(x2-x1)＞1
故f(x2)-f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)
所以f(x)在R上递增
②令x=y=1,则f(2)=2f(1)-1=2×2-1=3
令x=2，y=1,则f(3)=f(2)+f(1)-1=3+2-1=4
所以f(2x-3)＞4=f(3)
由①得f(x)在R上递增
所以2x-3＞3
2x＞6
x＞3

Answer 2

1.f(x+1)=f(x)+f(1)-1
f(x+1)-f(x)=f(1)-1
又因为f(1)>1
所以f(x+1)-f(x)>0
所以f(x)在R上递增
2.令x=y=1,则f(2)=2f(1)-1=2×2-1=3
令x=2，y=1,则f(3)=f(2)+f(1)-1=3+2-1=4
所以f(2x-3)＞4=f(3)
由①得f(x)在R上递增
所以2x-3＞3
2x＞6
x＞3

Answer 3

解：
(1)∵
f(xy)=f(x)+f(y)
∴
f(1)=f(1)+f(1)
∴
f(1)=0
(2)证明：
f(1)=f(1/x)+f(x)=0
f(x)=-f(1/x)
①
∵
当x＞1时，f(x)＞0
∴我们只需要证明1＞x＞0时，f(x)≠0
当1＞x＞0时,1/x＞1,
f(1/x)＞0
∴此时f(x)=-f(1/x)＜0
∴有且只有当x=1时，f(x)=0
(3)相近
令g(x)=logax,
g(xy)=g(x)+g(y)
g(a)=1,g(1)=0
对于任意n∈n*，|f(x)-g(x)|<1/n
g(x)与f(x)相近

Answer 4

由题得①
f(x+0)=f(x)=f(x)+f(0)-1
则f(0)=1
f(y-y)=f(0)=f(y)+f(-y)-1
则f(y)+f(-y)=2
对任意的x、y,设x>y
则x-y>0
则f(x-y)>1
f(x-y)=f(x)+f(-y)-1>1
则f(x)+f(-y)>2=
f(y)+f(-y)
则f(x)
>f(y)
①得证
②
∵
f(0)=1.
f(1)=2
∴f(2)=f(1)+f(1)-1=3
∴f(3)=f(1)+f(2)-1=4
∵f(2x-3)>4=f(3)
又∵f(x)递增
∴
2x-3>3
∴x>3