Question

若函数 满足：对于任意的 ， 都有 恒成立，则a的取值范围是____.

Answer 1

【分析】 由题意函数 满足：对于任意的x 1 ，x 2 ∈[0，1]，都有|f(x 1 )-f(x 2 )|≤1恒成立，必有函数 满足其最大值与最小值的差小于等于1，由此不等式解出参数a的范围即可，故可先求出函数的导数，用导数判断出最值，求出最大值与最小值的差，得到关于a的不等式，解出a的值． 由题意f′(x)=x 2 -a 2 \n当|a|≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数， \n故最大值为f(0)=0，最小值为f(1)= -a 2 \n故有 ，解得|a|≤ ，解可得 ； \n又有|a|≥1，则- ≤a≤-1或1≤a≤ ． \n当|a|∈[0，1)，由导数知函数在[0，a]上减，在[a，1]上增； \n故最小值为f(a)= 0， \n又f(0)=0，f(1)= -a 2 ； \n故答案为： ． 【点评】 此题的关键是要分析出|f(x 1 )-f(x 2 )|≤f(x) max -f(x) min ≤1，另外还要根据x∈[0，1]对a进行分类讨论判断f′(x)=x 2 -a 2 的符号进而可以根据单调性判断f(x)在[0，1]的最值．