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解:已知:四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,求二面角B-PC-D。如下图。
因为PA⊥平面ABCD,所以,平面PAB⊥平面ABCD,
同理平面PAD⊥平面ABCD。且PA=AB。那么,∆PBC和∆PAD都是等腰直角三角形。设:AB=a, 则AB=BC=CD=DA=PA=a.PB=PD=BD=√2a, PC=√3a.
引辅助线BE⊥PC交PC于E,联结DE,因为∆BCE≌∆DCE∽∆PBC;
所以PC/BC=PB/BE, BE=BC*PB/PC=a*√2a/√3a=√2a/√3;
根据余弦定理:2a^2=2*(2/3)a^2-2(2/3)a^2cos(B-PC-D);
cos(B-PC-D)=(4/3-2)/(4/3)=-(1/2)=cos(180º-60º)=cos120º
所以二面角B-PC-D=120º.
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在平面ABC上作BM垂直AC于M,连接MD
因为:PA垂直平面ABCD,所以:PA垂直BD,PA垂直AB,PA垂直AC
而BD垂直AC,所以:BD垂直平面PAC,所以:BD垂直PC
所以:AC垂直平面BMD
所以:二面角B-AC-D=角BMD
不妨设PA=1,则:AB=BC=1,PB=根号2,AC=根号2,AC=根号3,BD=根号2
所以:PC^2=PB^2+BC^2,所以:角PBC为直角
所以:BM=PB*BC/PC=根号(2/3)
同理:MD=根号(2/3)
由三角形BMD可求得:角BMD=120°
所以:二面角B-AC-D=角BMD=120°
因为:PA垂直平面ABCD,所以:PA垂直BD,PA垂直AB,PA垂直AC
而BD垂直AC,所以:BD垂直平面PAC,所以:BD垂直PC
所以:AC垂直平面BMD
所以:二面角B-AC-D=角BMD
不妨设PA=1,则:AB=BC=1,PB=根号2,AC=根号2,AC=根号3,BD=根号2
所以:PC^2=PB^2+BC^2,所以:角PBC为直角
所以:BM=PB*BC/PC=根号(2/3)
同理:MD=根号(2/3)
由三角形BMD可求得:角BMD=120°
所以:二面角B-AC-D=角BMD=120°
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