Question

根号下n+1减根号下n等于0的极限怎么证明?

Answer 1

证明：

① 对任意 ε>0 ,

要使 |(√(n+1) -√n) -0| < ε 成立,

只要 |(√(n+1) -√n) -0|=√(n+1)-√n = 1/[√(n+1)+√n]1/ε^2 即可。

② 故存在 N=[1/ε^2] ∈N

③ 当 n>N 时,

n≥N+1=[1/ε^2]+1>1/ε^2

④ 恒有：|(√(n+1) -√n) -0| < ε 成立。

∴ lim(n->∞) (√(n+1) -√n) = 0

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。