Question

求线段最小值的几何题

⊿ABC中∠ACB=90o, ∠CAB=30o,AC=2,D为AB上一动点（不与A重合），⊿AED为等边三角形，过D作DE的垂线，F为垂线上的任一点，G为EF的中点，求CG长的最小值。这是图

Answer 1

连接DG,AG
因为∠EDF=90°，G为EF的中点
所以GD=GE
又因为△AED为等边三角形
所以AD=AE
又AG=AG
所以△GEA≌△GDA
所以∠DAG=∠EAG=1/2∠EAD=30°
又∠CAB=30°
所以∠CAG=60°
又AC=2,
所以，根据垂线段最短，当∠AGC=90°时，CG最小
所以CG长的最小值=CAsin∠CAG=2sin60°=2*√3/2=√3

Answer 2

容易看出，不管D在AB上哪个位置，也不管DF的长短，GA总是∠BAE的平分线。

即∠CAG＝60°.∴CG的最小值＝C点到这条直线的距离＝（√3／2）AC＝√3.

（连接GD,GA.⊿GEA≌⊿GDA.∠DAE被平分）