Question

a²＋4b²＋2c²-2ab-3a＋c有没有最小值？

Answer 1

• 第1种方法：神之变形。

min{a^2 + 4 b^2 + 2 c^2 - 2 a b - 3 a + c} 

=min{ （a-4b）^2/4 + 3（a-2)^2/4 -3+(2 c^2 + c)} 

a=4b,a=2,c=-1/3取得最小值

= -25/8 

 (a, b, c) = (2, 1/2, -1/4)

• 第2种方法：

通法：

y=ax^2+bx+c
=a(x-b/2a)^2+c-b^2/4a
再看a>0的大小，可得
x=b/2a时，y有最小值: c-b^2/4a（公式）

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 a^2 + 4 b^2  - 2 a b - 3 a 

=4 b^2  - 2 a b+（a^2 - 3 a ）（把a看成常数）

最小值：(a^2 - 3 a )-（2a)^2/4*4

=3a^2/4-3a

3a^2/4-3a最小值：

0-3^2/(4*3/4)=-3

所以：a^2 + 4 b^2  - 2 a b - 3 a 最小值-3

另外

(2 c^2 + c)最小值：-1/8

good job

Answer 2

Answer 3

a²＋4b²＋2c²-2ab-3a＋c
= (a²/4 - 2ab＋4b²) + (3a²/4 - 3a) ＋ (2c²+c)
= 1/4×(a² - 8ab＋16b²) + 3/4×(a² - 4a)＋ 2×(c²＋c/2)
= 1/4×(a-4b)² + 3/4×(a² - 4a + 4 - 4)＋ 2×(c²＋c/2 +1/16 - 1/16)
= 1/4×(a-4b)² + 3/4×(a-2)² - 3/4×4 ＋ 2×(c+1/4)² - 2×1/16
= 1/4×(a-4b)² + 3/4×(a-2)² ＋ 2×(c+1/4)² - 3/4×4 - 2×1/16
= 1/4×(a-4b)² + 3/4×(a-2)² ＋ 2×(c+1/4)² - 25/8
当 a=2 , b=1/2 , c=-1/4 时，上式的前三个平方项的值为“0”.此时原式获得最小值 -25/8