Question

在△ABC中，角B等两倍角C，D为BC中点，角ADB等于60度，求证△ABC为直角三角形。

Answer 1

设BD=DC=1.
在△ABD中∠BAD=120°-2C,由正弦定理，
AB=sin60°/sin(60°+2C),
同理AC=sin60°/sin(60°-C),
AB/sinC=AC/sin2C,
所以sinCsin(60°+2C)=sin2Csin(60°-C),
所以sin(60°+2C)=2cosCsin(60°-C)=sin60°+sin(60°-2C),
所以√3/2=sin(60°+2C)-sin(60°-2C)=2cos60°sin2C=sin2C,
C<60°，
所以2C=60°，C=30°，
所以∠BAC=90°。命题成立。

Answer 2

因为D是BC中点根据中线定理
所以AD=CD=DB所以△ADB为等边三角形
所以∠ABD=60°=∠DBA=∠B
又∠B=2∠C
所以∠C=30°
又因为∠A=180°-∠C-∠B=90°
AC⊥AB所以△ABC等于直角三角形